[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ladowe
2. Znajdz fundamentalny uk rozwiazań w postaci szeregów potegowych, unor-
lad
� �
mowany w punkcie t0 = 0, równania
x2 2 - x2 + tx = 0.
3. Wyznacz ca ogólna� uk równań
lke ladu
�
0 -1
x2 = x.
2 2
4. Korzystajac z transformaty Laplace a rozwia�ż zagadnienie poczatkowe
� �
x2 2 + x = t, x(0) = 0, x2 (0) = 1.
5. Wyznacz ca ogólna� równania
lke
�
x2 2 - 2x2 + x = e-t.
6. Dla jakich paramatrów a i b zerowe rozwiazanie równania
�
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + bx2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne. Zaznacz wyznaczony zbiór na p
laszczyznie
Oab.
12 czerwiec 2004
1. Rozwia�ż jednorodne równanie różniczkowe
(t2 + tx + 3x2)dt - (t2 + 2tx)dx = 0.
2. Znajdz ca szczególna� w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
lke
� �
punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + tx2 - x = 0, x(0) = 1, x2 (0) = 0.
3. Wyznacz ca ogólna� równania
lke
�
x2 2 2 - x2 2 + 4x2 - 4x = 3e2t.
4. Wyznacz ca szczególna� uk równań
lke ladu
�
3 -3 4
x2 = x +
2 -2 -1
z warunkiem poczatkowym x(0) = .
�
87
Rozdzia 9. Dodatek
l
5. Stosujac transformate Laplace a oblicz x-sowa� sk ca szczególnej uk
ladowa� lki ladu
� �
równań
2x2 + y2 - 2x = 1
x2 + y2 - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
�
6. Dla jakiej wartości parametru a zerowe rozwiazanie równania
�
xIV + ax2 2 2 + x2 2 + 2x2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
17 wrzesień 2004
1. Rozwia�ż problem poczatkowy Cauchy ego
�
x2 sin t = x ln x, x(�/2) = 1.
2. Znajdz ca szczególna� w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
lke
� �
punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + x2 - t2x = 0, x(0) = -1, x2 (0) = 1.
3. Wyznacz ca szczególna� równania
lke
�
x2 2 - 2x2 + 2x = te-t
spe
lniajaca� warunek poczatkowy x(0) = x2 (0) = 0.
� �
4. Wyznacz ca ogólna� uk równań
lke ladu
�
x2 = 2x - y,
y2 = x + 2et.
5. Stosujac transformate Laplace a oblicz y-kowa� sk ca szczególnej uk
ladowa� lki ladu
� �
równań
2x2 + y2 - 2x = 1
x2 + y2 - 3x - 3y = 2
z warunkiem poczatkowym x(0) = 0, y(0) = 0.
�
6. Dla jakich wartości parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
�
xIV + 2x2 2 2 + 4x2 2 + ax2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
27 wrzesień 2004
1. Rozwia�ż problem poczatkowy Cauchy ego
�
x2 = x ln x, x(0) = e.
88
9.3. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych studia zaoczne
ladowe
2. Znajdz ca szczególna� w postaci szeregu potegowego, unormowanego w
lke
� �
punkcie t0 = 0, równania
x2 2 + (t + 1)x = 0, x(0) = 1, x2 (0) = 1.
3. Wyznacz ca szczególna� równania
lke
�
x2 2 - 6x2 + 9x = t
spe
lniajaca� warunek poczatkowy x(0) = 0, x2 (0) = 1.
� �
4. Wyznacz ca ogólna� uk równań
lke ladu
�
x2 = x + 2y,
y2 = -1x + y.
2
5. Dla jakich wartości parametrów a i b, zerowe rozwiazanie równania
�
xIV + 2x2 2 2 + 4x2 2 + ax2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
6. Stosujac transformate Laplace a rozwia�ż problem poczatkowy Cauchy ego
� � �
x2 2 + x = sin t, x(0) = 1, x2 (0) = -1.
11 czerwiec 2005
1. Rozwia�ż równanie
tx
+ x2 = 1.
x2
2. Wyznacz ca szczególna� równania
lke
�
x
x2 - = t + 1
1 - t2
spe
lniajaca� warunek poczatkowy x(0) = 0.
� �
3. Wyznacz ca ogólna� równania
lke
�
(2t - t2)x2 2 + (t2 - 2)x2 + 2(1 - t)x = 0,
jeśli dana jest ca szczególna tego równania x1(t) = et.
lka
4. Wyznacz ca ogólna� uk
lke ladu
�
2 -1 0
x2 = x + .
1 0 2et
5. Metoda� szeregów potegowych wyznacz ca szczególna� równania różniczkowego
lke
� �
x2 2 + tx2 - x = 0
spe
lniajaca� warunek poczatkowy x(0) = 1, x2 (0) = 0. Wyznacz cztery pierw-
� �
sze niezerowe wyrazy szeregu.
89
Rozdzia 9. Dodatek
l
6. Zbadaj dla jakich parametrów a i b zerowe rozwiazanie równania
�
xIV + ax2 2 2 + 4x2 2 + 2x2 + bx = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
21 wrzesień 2005
1. Rozwia�ż jednorodne równanie różniczkowe
2t3x2 = x(2t2 - x2).
2. Rozwia�ż równanie różniczkowe zupe
lne
x
dt + (x2 + ln t) dx = 0.
t
3. Wyznacz ca ogólna� równania
lke
�
x2 2 - 5x2 = 3t2.
4. Wyznacz ca ogólna� uk
lke ladu
�
4 1 -e2t
x2 = x + .
-2 1 0
5. Metoda� szeregów potegowych wyznacz ca szczególna� równania różniczkowego
lke
� �
x2 2 - (t + 1)x = 0
spe
lniajaca� warunek poczatkowy x(0) = 1, x2 (0) = 1. Wyznacz cztery pierw-
� �
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwiazanie równania
�
xIV + 2x2 2 2 + 3x2 2 + 2x2 + ax = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
24 wrzesień 2005
1. Rozwia�ż równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
t(1 + x2)dt + x(1 + t2)dx = 0.
2. Wyznacz ca szczególna� równania Bernoulliego
lke
�
x2 - 2tx = 2t3x2
spe
lniajaca� warunek poczatkowy x(0) = 1.
� �
90
9.3. Przyk tematy zadań egzaminacyjnych studia zaoczne
ladowe
3. Wyznacz ca ogólna� równania
lke
�
x2 2 - 5x2 = et.
4. Wyznacz ca ogólna� uk
lke ladu
�
3 -2
x2 = x.
1 1
5. Metoda� szeregów potegowych wyznacz ca szczególna� równania różniczkowego
lke
� �
x2 2 + tx = 0
spe
lniajaca� warunek poczatkowy x(0) = 1, x2 (0) = 2. Wyznacz cztery pierw-
� �
sze niezerowe wyrazy szeregu.
6. Zbadaj dla jakiego parametru a zerowe rozwiazanie równania
�
xIV + 2x2 2 2 + 3x2 2 + ax2 + x = 0
jest lokalnie asymptotycznie stabilne.
Bibliografia
[1] F.Bierski, Funkcje zespolone, Szeregi i przekszta Fouriera, Przekszta
lcenia lcenia
ca Laplace a, Przekszta Laurenta (Z), wyd. piate poprawione, Uczel-
lkowe lcenia
�
niane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 1999.
[2] B.P.Conrad, Differential Equations, A Systems Approach, Pearson Education,
Inc., Upper Saddle River, New Jersey, 2003.
[3] B.P.Demidowicz, Matematyczna teoria stabilności, Wyd. Naukowo-Techniczne,
Warszawa 1972.
[4] L.Drużkowski, Analiza Matematyczna dla fizykow, Cześć II, Wybrane zagadnie-
�
nia, Wyd. UJ, Kraków 1997.
[5] A.F.Filippow, Zbiór zadań z równań różniczkowych, Izd. Nauka, Moskwa 1973.
[6] I.M. Gelfand, Wyk z algebry liniowej, wyd. 3, PWN, Warszawa 1977.
lady
[7] R.Gutowski, Rownania różniczkowe zwyczajne, Wyd. Naukowo-Techniczne, War-
szawa 1971.
[8] M.I.Kontorowicz, Rachunek operatorowy i procesy w uk elektrycznych,
ladach
Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa 1968.
[9] N.M.Matwiejew, Metody ca
lkowania równań różniczkowych zwyczajnych, PWN,
Warszawa 1972.
[10] J.Niedoba, W.Niedoba, Równania różniczkowe zwyczajne i czastkowe, Zadania z
�
matematyki, Wydanie trzecie, Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne
AGH, Kraków 2001.
[11] J.Ombach, Wyk z równań różniczkowych, Wyd. UJ, Kraków 1996.
lady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
